הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

Transcript

1 הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים של K וכל הראשוניים P O K כך ש P. עבור איברים K,{ 1,..., n } נגדיר את n S 1,..., בתור S יחד עם כל הראשוניים עבורם 1 i עבור i כלשהו. ע"י המשוואה עבור K וכן S I נגדיר את הסמל FL/K כלומר F L/K F L/K 1 כאשר.L K 1

2 למשל עבור 11 p וכן 5 נקבל שאכן 5 הוא שארית ריבועית מודולו od 2.4 ראשית 11 איננו מסועף ב 5 2,Q כי הדיסקרימיננטה היא.5 כעת 11 od x 2 5 x 4 x + 4 ולכן נקבל כי ,11 כאשר 5 + 4, 5 4 אידיאלים צמודים תחת הפעולה של /Q,Gl Q 2 5 ולכן 11 מתפצל לחלוטין. מאחר שהוא מתפצל לחלוטין, הפרובניוס שווה ליחידה. 5 ממשפט אוילר ונקבל כי 1 עבור 11 p וכן 7 נקבל ש 7 הוא לא שארית ריבועית מודולו 11. ראשית 11 איננו מסועף ב 7 2,Q כי הדיסקרימיננטה היא.28 כעת 11 od x 2 7 x אי פריק, ולכן 11 הוא אינרטי, ושדה השאריות הוא מגודל,11 2 לכן הפרובניוס של 11 יוצר של חבורת גלואה, והוא מסדר 2. ולכן הפעולה של הפרובניוס על 7 נעשית ע"י בחירה בצמוד גלואה, במקרה של שדות ממשיים לחלוטין, זה המינוס כעת 1 עוד דוגמא 5 p, שאריות ריבועיות מודולו 5.0, 1, 4 במקרה שלנו, x 2 מודולו 5 מקבלים x 2 x od 5 איננו מסועף, אך גם לא מתפצל לחלוטין אחרת x 2 y 2,5 מודולו 5 נקבל x 2 y 2 0 שאין לו פתרונות לא טריוואליים, ולכן 5 ראשוני אינרטי. ולכן הפרובניוס הוא יוצר של חבורת גלואה, ונקבל כי שדה השאריות הוא מסדר 5, 2 כלומר נקבל שפעולת הפרובניוס מעבירה לצמוד גלואה, שזה, ולכן נקבל. 5 נקבל כי 1, סמל לזנדר. p p 1 הערה נזכור כי הריבועים בחבורה Z/pZ מאופיינים ע"י קרקטר דיריכלה ריבועי 2 טענה µ הוכחה מספיק להראות את זה עבור, O K ראשוניים., ומאחר ש F L/K איבר של חבורת גלואה, הוא F L/K נעלה בחזקת ונקבל. FL/K נקבל ומכן שהוא K אוטומורפיזם,, F L/K אוטומורפיזם ולכן נקבל כי F L/K σf L/Kσ 1 [ σf L/Kσ 1 F L/K σσ 1 כעת אם נתבונן ב 1 σ,σf L/K אז נקבל ] σσ 1 σσ 1. σσ 1 מאחר שלפי ההנחה,µ K וכן σ הוא K אוטומורפיזם, נקבל כי K K, L K נקבל כי אז עבור L K, טענה אם I S, הוכחה לפי ההגדרות FL 2

3 FL /K FL/K F L/K הזיהוי של הפרובניוס במעבר בין השדות L, L נעשה לפי הטענה בספר בפרק.2. אם S, I טענה F L/KF L/K ונקבל F L/K נפעיל על זה את, FL/K נתחיל מההגדרה,. F L/K. F L/KF L/K ולכן נקבל כי, F L/K כעת לפי ההגדרה, מצד שני, בגלל ש F L/K הוא אוטומורפיזם נקבל כי,F L/K F L/K F L/K בנוסף לפי ההגדרה FL/K נקבל ולכן ע"י השוואת הצדדים נקבל את הדרוש. כאשר. n n / S תוצאה טענה קריטריון אוילר מוכלל אם / S ראשוני, אזי 1 N כאשר /,N O K כמו כן N 1 od p הוכחה נראה כי מחלק את 1.N יהי ω שורש פרימיטיבי מסדר, הוא כמובן K שלם כי הוא שורש של 1 x, ולכן נקבל כי 1 ω וכן.0 < i < עבור ω i 1 כעת ניקח רדוקציה למשוואה מודולו K ונקבל.ω 1 od K כמו כן, גם כאן הסדר ω הוא, אחרת יש i כך ש p ω i 1 + עבור p כלשהו, בפרט אם נעלה את זה בחזקת נקבל + p 1 1 בשדה, דבר שלא יתכן, מאחר שאז יהיו קיימים בחוג מחלקי אפס. מצד שני, השדה K הוא מסדר,N ולכן ע"פ משפט אוילר לחבורה הכפלית שלו ω, N 1 1 od K והרי מטענת החילוק הסדרים הידועה, והגדרת הסדר כמינימלי, נקבל כי 1 N. כעת להוכחת הנוסחא.. לפי ההגדרה FL/K נתבונן בשדה L, ובהרחבת השדות הסופיים / O L מעל O K / כאשר ראשוני היושב מעל. נבצע רדוקציה למשוואה הזאת מודולו ומהגדרת פעולת הפרובניוס בשדה השאריות.2 Prop. נקבל. N 1 od p כעת מאחר ש 1 N נקבל כי 1 f, N ולכן בסה"כ אפשר להוציא ולחלק ב ולקבל כי N 1 od p. N 1. בפרט נקבל ברדוקציה מודולו p כי od p טענה הדדיות גבוהה התנאים הבאים שקולים: יש פתרון למשוואה x od p עבור.x O. יש פתרון למשוואה x עבור.x K

4 הוכחה נראה כי 2 גורר 1.. N 1 x N 1 1 od p נקבל x אם, N 1 במקרה זה, נראה כי 1 גורר,2 נניח כי g יוצר של החבורה הציקלית,k נסמן, g r וכן,x g y אז הפתרון המבוקש שקול ל,g r g y od p כלומר 1 N,y r od למשוואה הזאת יש פתרון אמ"מ N 1 נקבל כי,ord g N אך מכך ש 1,g rn 1, r כי 1 N ממשפט אוילר הקודם. כעת, g r אז תנאי 1 שקול לכך ש 1. r ולכן, rn 1 x עבור x, y O זרים, מאחר שניתן להניח כי 0, נקבל כי כעת גורר,2 נקבל כי y, x ולכן y, x מאחר שהנחנו זרות, נקבל 0 y. x ולכן ניתן לקחת רדוקציה y 0 של המשוואה מודולו p ולקבל את הדרוש. עבור 2 גורר, נשתמש בלמה של הנזל. נזכור כי K הוא ההשלמה של השדה הגלובלי K ביחס לאידיאל p. למת הנזל יהי K שדה שלם ביחס להערכה וכן [x] f. O K יהי α 0 O K כך ש f α 0 < f α 0 2. α α 0 fα f α אזי יש α O K כך ש 0 α f וכן הוכחה של הטענה בעזרת הלמה נגדיר [x].f x x O K. f α 0 p כלומר 1,α0 לפי,2 יש α 0 O כך ש od p. f α 0 α 0 1 מצד שני, 1,f x x ולכן p, הוא כזה כך ש p בנוסף הנחנו כי הפיך. מאחר ש α, 0 ניתן להניח כי, 0 od p ולכן 1 גם כן. ולכן 1 וסה"כ נקבל את הדרוש מהלמה של הנזל.. טענה אם ו S I שלם, כך ש od אזי הוכחה נשתמש בטענה.2 מהספר. L ונקבל את הדיאגרמה המתחלפת הבאה. K, וכן L K,K K I S F L /K G N K /K I S F L/K θ G כעת נניח כי מתפרק ב L ל, f p i e כעת בשדה,L הפירוק נשאר, מאחר ש, od ולכן עבור גורם p i בפירוק של p i בשדה L נקבל כי,N K /Kp i 1 p i ולכן.F L /K F L/K L נקבל את הדרוש. K, L K ו משיקול סימטרי עבור K K וכן טענה נניח כי S, I וכן c 1 עבור K c כך ש c K לכל, S אזי 4

5 הוכחה ניזכר בכלל ארטין הגס., נקבל כי עבור c מתקיים כי 1 S F, c ולכן נקבל שמתקיים.F S F S מכאן שהפרובניוס פועל על באותה הצורה. טענה יהי K Q וכן 2, יהיו, Q וכן P, Q מספרים חיוביים שלמים אי זוגיים. מוגדר, כפלי בכל ארגומנט בנפרד ומקיים P P עבור 1 P, הסמל ±1 P P if od P. P Q כעת נטען כי אם P Q od 8 0 כאשר 2 τ 0 עם 1 0,2, אז מתקיים כי הוכחה נשתמש בטענה הקודמת, צריך להראות כי c P Q 1 עבור Q c כך ש 2 c Q לכל.p כאשר 0 {2,, p} עבור, הדבר ברור, כי > 0 Q.P, עבור 2, ניקח רדוקציה של המשוואה מודולו 8 ונקבל P. Q od 8 כעת הנחנו כי Q איזוגי, ולכן הפיך מודולו,8 ולכן.P Q 1 1 od 8.P Q 1 Q 2 כעת מספרים השקולים ל 1 מודולו 8 הם ריבועים 2 אדיים, ולכן 2 עבור p כאשר,p 0 ניקח רדוקציה מודולו,p והנחנו כי 1 P,, ולכן Q הפיך מודולו,p ולכן נקבל g. אז ניקח Z pz.p Q 1 1 od p כעת החבורה הכפלית מודולו p עבור 2 p היא ציקלית, עם נניח שורש פרימטיבי 1 p h, g בתור שורש ריבועי של היחידה. 2 מהלמה של הנזל עבור הפולינום x 2 1 ב [ x ] Z, p נקבל הרמה p אדית של אותו שורש למספר ב Z p ולכן. P Q 1 Q 2 נקבל כי p 5